指数函数和对数函数是 HSC 微积分和建模应用的核心。它们看似抽象，但本质上描述了所有自然界和经济生活中的增长和衰减现象。
掌握它们的核心在于理解它们的反函数关系。
1. 指数函数的本质：几何级数增长
- 指数函数 $y = a^x$： 描述了增长或衰减的速度与当前量成比例的关系。
- 应用： 复利增长、细菌繁殖、放射性衰减（如半衰期）。
2. 对数函数的本质：寻找指数
- 对数 $\log_a b = x$： 问的是：要将底数 $a$ 变成 $b$，需要多少个 $x$ 次方。对数是指数的逆运算。
- 反函数关系： 指数函数和对数函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。
3. HSC 阶段的关键应用
- 微积分： $\frac{d}{dx} (e^x)$ 和 $\frac{d}{dx} (\ln x)$ 的公式是 HSC 必考基础。
- 求解方程： 使用对数定律来解涉及指数的复杂方程。
